sábado, 23 de mayo de 2015

Unidad V. Aplicaciones de la derivada.

5.1 Función creciente y decreciente.
Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo.x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2).
Una fución f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2).
Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b]. Fab.gif
En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:
1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)
2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)

Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea f una función continua en el intervalo cerrado \left [ a,b\right ]  y derivable en el intervalo abierto \left (a,b\right ).
  1. Si {f}'(x)>0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f es creciente en \left [ a,b \right ]
  2. Si {f}'(x)<0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f es decreciente en \left [ a,b \right ]
  3. Si {f}'(x)=0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f es constante en \left [ a,b \right ]

Ejemplo 1

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x) = 1 / 2(x2 − 4x + 1).
Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.
Como f'(x) > 0 ↔ x − 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.
Como f'(x) < 0 ↔ x − 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.
En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.
Ejemplo1.gif


5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.
el "Máximo Relativo" se da cuanto tienes un cambio de signo en la pendiente de la recta tangente de la curva. 
La fórmula de cálculo es muy sencilla. Tienes que derivar a la función y observar en que puntos la derivada primera se iguala a cero. O sea: 

Partiendo de f(x) 

Obtienes f´(x) 

La igualas a 0, f´(x)=0 

Con lo que obtendrás una serie de valores de x que satisfacen la ecuación. Estos valores de x los remplazas en la ecuación original y obtendrás las coordenadas de los posibles máximos y mínimos. Para saber si son relativos o absolutos debes compararlos entre si. 

https://es.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=A0SO81zYymBVXXMA5TXD8Qt.;_ylu=X3oDMTBya2cwZmh2BGNvbG8DZ3ExBHBvcwM1BHZ0aWQDBHNlYwNzcg--?qid=20090329053259AAivbHn


5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.
Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

Teorema valor máximo y mínimo[editar]

"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c)puede clasificarse como sigue."
1. Si f '(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c)).
2. Si f '(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).
3. Si f '(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.
5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.
La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:

 Definición  de concavidad
 Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, $(A\subseteq D_{f})$, si $f'(x)$ es creciente sobre A. Si $f'(x)$ es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Note que es la función derivada $f'$ la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo $]a,b[$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $]b,c[$ 


 Teorema 5
 Si f es una función tal que $f''(x)>0$ cuando $x \in ]a,b[$, entonces la gráfica de fes cóncava hacia arriba sobre $]a,b[$.

Demostración:

Si $f''(x)>0$ y como $f''(x)= D_{x}f'(x)$, entonces se tiene que $f'(x)$ es creciente sobre $]a,b[$ por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función, se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre $]a,b[$.
   
 Teorema 6
 Si f es una función tal que $f''(x)<0$ cuando $x \in ]a,b[$, entonces la gráfica de fes cóncava hacia abajo sobre $]a,b[$.

Demostración:

De la hipótesis: $f''(x)<0$, y como $f''(x)_{x}=D_{x}f'(x)$, se obtiene que $f'(x)$ es decreciente sobre $]a,b[$ por lo que según la definición dada sobre concavidad, la gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre $]a,b[$.

Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación $f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}-\displaystyle\frac{x^3}{3}$

Si $f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}-\displaystyle\frac{x^3}{3}$ entonces $f'(x)=\displaystyle\frac{x^3}{3}-x^2$, y, $f''(x)=x^2-2x=x(x-2)$

Luego, $f''(x)>0$ si $x \in ]-\infty,0[ \; \cup \; ]2,+\infty[$ y, $f''(x)<0$ si $x \in ]0,2[$.

Como $f''(x)= D_{x}f'(x)$, entonces $f'$ es creciente en los intervalos$]-\infty,0[\;,\; ]2,+\infty[$, pues en ellos $f''(x)$ es positiva. Además $f'$ es decreciente en el intervalo $]0,2[$ pues en el $f''(x)$ es negativa.

Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo $]-\infty,0[ \; \cup \; ]2,+\infty[$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $]0,2[$.

La representación gráfica de la función $f'$ es la siguiente: 
http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html
5.5 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.
ELASTICIDAD
La elasticidad de la demanda mide la reacción de la demanda cuando uno de los factores que la afecta varia.
TIPOS DE ELASTICIDAD DE DEMANDA:
La elasticidad – Precio de la demanda.
Mide la sensibilidad de la cantidad demanda a las variaciones del precio. Nos indica la variación porcentual que experimentará la cantidad demanda de un bien si sube su precio en 1 por ciento.
Examinemos la más detalladamente, representando la cantidad y el precio por medio de Q y p, expresamos la elasticidad precio de la demanda de la siguiente manera:
Simbolizan tendremos la siguiente expresión:
Si se quiere usar esta formula para calcular la elasticidad de la demanda, es necesario conocer las cantidades demandadas a los diferentes precios, con todos los demás factores que influyen en los planes de compra de los consumidores constantes.
Así por ejemplo si tenemos la siguiente tabla de demanda con los datos del precio y la cantidad demandada del petróleo, calculamos la elasticidad precio de la demanda, si el precio disminuye 7 a 5 nuevos soles.
Precio
(soles/galón)
Cantidad
(galones/semana)
7
6
5
4
5
8
12
18

Esto nos dice que si el precio disminuye en 10% la cantidad aumenta en 49%.
La elasticidad precio de la demanda normalmente es una cifra negativa. Cuando sube el precio de un bien la cantidad demandada normalmente disminuye, por la que ΔQ/ΔP (la variaciσn de la cantidad correspondiente de una variación del precio) es negativa considerar el coeficiente en términos de valor absoluto.
Tipos de Demanda:
Demanda Inelástica:
La cantidad demandada es relativamente insensible a las variaciones del precio como consecuencia el gasto total en el producto aumenta cuando sube el precio, es decir los cambios en el precio ocasionan cambios proporcionalmente menores en la cantidad demandada.
La Ep toma valores mayores a -1 pero menores a cero.
-1<Ep < 0
Cuando la demanda es inelástica ó relativamente inelástica el producto tiene pocos sustitutos.
Demanda Perfectamente Inelástica.
La cantidad demandada es insensible a las variaciones del precio, se llama también demanda rígida, el valor de la elasticidad toma el valor de cero.
Ep=0
Demanda perfectamente Inelástica
Demanda Elástica.
La cantidad demanda es relativamente sensible a las variaciones del precio, entonces el gasto total en el producto disminuye cuando sube el precio, la elasticidad precio toma valor mayores a -∞ pero menores a -1
-∞ <Ep<-1
cuando la demanda es elástica o relativamente elástica el producto tiene muchos sustitutos.
Demanda relativamente elástica:
Demanda perfectamente elástica:
La cantidad demandada es totalmente sensible a los variaciones del precio, la elasticidad toma un valor negativo muy grande.
Ep=-¥
Demanda perfectamente elástica
Demanda de Elástica Unitaria
Se da cuenta el cambio porceptual en la cantidad demandada es igual al cambio porcentual en el precio, es decir, los cambios en el precio ocasión cambios iguales en la cantidad demandada la elasticidad toma el valor de:
Ep=-1
D %Q= D %P
Demanda de Elasticidad Unitaria
Demanda Isoelástica
Cuando la elasticidad precio de la demanda es constante a lo largo de toda la curva de demanda.
Los casos particulares de esta curva isoelastica son los demandas perfectamente elásticas e inelásticas y la demanda de elasticidad unitaria.
La elasticidad a lo largo de una curva de demanda de línea Recta.
La elasticidad no es sinónimos de pendiente, pero los dos están relacionados, para ver como se relacionan veremos la elasticidad a lo largo de una curva de demanda de línea recta, una curva de demanda con pendiente constante.
En una curva de demanda de línea recta, la elasticidad disminuye al bajar el precio y aumentar la cantidad demandada, la demanda tiene elasticidad unitaria en el punto medio de la curva de demanda, por arriba del punto medio, la demanda es elástica (la elasticidad es mayor que uno), por debajo del punto medio la demanda es inelástica (la elasticidad es menor que uno)
Elasticidad Cruzada de la demanda:
La cantidad de cualquier bien depende de los precios de sus sustitutos y complementarios. La sensibilidad de la cantidad demandada de un bien particular a los precios de sus sustitutos y complementarios se mide usando la elasticidad cruzada de la demanda que representaremos con Eyx y se calcula como el cambio porcentual de la cantidad demandada de un bien dividido entre el cambio porcentual del precio del otro bien (un sustituto complementario)
Simbolizando, obtendremos la siguiente ecuación:
Elasticidad cruzada en bienes complementarios
El aumento en el precio del bien complementario, produce una disminución en al demanda del bien original, la elasticidad es negativa. Eyx < 0
Esta gráfica no representa la curva de demanda de alguno de los bienes que esta relacionando el precio del bien y con la cantidad del bien X.
Elasticidad cruzada en bienes sustitutos.
El aumenta en el precio del sustituto, produce un aumento en la demanda del bien original o en estudio, la elasticidad es positiva
Eyx > 0
Elasticidad cruzada en bienes Independientes:
Se da cuando un aumento o disminución en el precio del bien relacionados, no produce cambios en la cantidad demandada del bien en estudio, la elasticidad toma el valor de cero.
Elasticidad Ingreso de la demanda:
Muestra el cambio porcentual de la cantidad demandada dividido entre el cambio porcentual del Ingreso, se representa con EI, la grafica que resulta de esta relación se le denomina curva de Engel.
Simbolizando, obtendremos la siguiente ecuación:
Tipos de Bienes según su Elasticidad Ingreso:
Bien Inferior.
Para estos bienes conforme aumenta el ingreso real va a generar una disminución en la demanda del bien.
EI < 0
Bien Esencial.
Cuando la variación de la demanda del bien es insensible a variaciones en el ingreso real, es decir si aumenta el ingreso la demanda no se altera, la elasticidad tomo el valor de cero.
EI = 0
Bien Normal.
Para este bien un aumenta en el ingreso real hace que la demanda aumente en una proporción igual o menor. La elasticidad toma os valores de:
0<EI≤1
Bien superior
En este, un aumento en el ingreso real hace incrementar en una proporción mayor la demanda, la elasticidad tomo valores mayor a uno.
EI > 1
Elasticidad - Punto de la Demanda.
Es la elasticidad – precio en un determinado punto de la curva de demanda. Se calcula sustituyendo ΔP/ΔQ en la formula de la elasticidad precio de la demanda por la magnitud de la pendiente de la curva de demanda en ese punto, entonces la elasticidad punto se determina mediante.
elasticidad –punto: 
Entonces
Elasticidad - Arco de la Demanda
Es la elasticidad calculada a lo largo de un intervalo de precios, en lugar de elegir el precio inicial o final utilizaremos una medida de los dos que es promedio (P), en el caso de la cantidad demanda utilizamos Q, por lo tanto la elasticidad – arco de la demanda viene dada por:
Entonces 
Usamos el precio promedio y la cantidad promedio para evitar tener dos valores de la elasticidad de la demanda que dependieron de si el precio aumenta o disminuye.
Elasticidad Precio de la Demanda y el Gasto Total.
Una manera practica de determinar si la demanda es inelástica ó elástica, es analizar las variaciones del gasto total producido por alteraciones en el precio.
El gasto total (G.T) para el consumidor se obtiene multiplicando el número de unidades compradas por el precio del producto.
GT = P.Q
Ahora encontramos una relación que refleje lo dicho:
Gasto Total:
GT = P.Q
Aplicando Diferencial Total:
dGt = (Q)(dP) + (P) . (dQ)
Dividiendo entre el diferencial del precio: (dP)

Si la demanda es de Elasticidad Unitaria.
Si es de elasticidad unitaria entonces.
Entonces ante una subida del precio, la cantidad demandada del producto disminuye, pero el gasto permanece constante.
GT1=GT2
Si la demanda es relativamente Elástica.
Si la demanda es elástica entonces.
Es decir si el precio se incrementa, la cantidad demandado del producto disminuye en una proporción mayor y el gasto total disminuye.
GT2 < GT1
Si la demanda en relativamente Inelástica
Si la demanda es inelástica tendríamos.
Es decir que si se incremento el precio, la cantidad demandado del bien disminuye en menor proporción y el gasto total aumenta.

http://www.monografias.com/trabajos30/elasticidad/elasticidad.shtml#ixzz3azQaVGYn





Publicado por en 26 comentarios:
Suscribirse a: Comentarios (Atom)