2.1 Definición de límite.

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación,integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico

2.2 Propiedades de los límites.

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

http://www.vitutor.com/fun/3/a_5.html

2.3 Límites laterales.

Además del límite ordinario en el sentido anterior es posible definir para funciones de una variable los límites unilaterales por la derecha y por la izquierda. El límite por la derecha (cuando existe) es el límite de la sucesión:

$L^+(c) = \lim_{n \to \infty} \, f(c+1/n)$

Análogamente el límite por la izquierda (cuando existe) es:

$L^-(c) = \lim_{n \to \infty} \, f(c-1/n)$

para una función continua en c se tiene que

L^+(c) = L^-(c)

.
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico

2.4 Límites al infinito.

El símbolo $\infty$ se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente

está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe $x\rightarrow +\infty$ (que se lee:

tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como $x\rightarrow -\infty$ (que se lee:

tiende a menos infinito).
Similarmente, cuando

crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe $f(x)\rightarrow +\infty$ , y si decrece tomando valores negativos escribimos $f(x)\rightarrow -\infty$ .
Consideramos la función

definida por $f(x)=\displaystyle {\frac{1}{x-2}}$ para $x\in I\!\!R-\{2\}$ . Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando $x\rightarrow 2$ cuando $x\rightarrow +\infty$ y cuando $x\rightarrow -\infty$ . Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:

En este caso, cuando $x\rightarrow 2^{+},\;(x\rightarrow 2,\;x>2)$ , la función

tiende a tomar valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como $f(x)\rightarrow +\infty\;\;\mbox{cuando}\;\;x\rightarrow 2^{+}$ , es decir $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{f(x)}=+\infty}$

Ahora, cuando

toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir, $f(x)\rightarrow -\infty$ cuando $x\rightarrow 2^{-}$ , o sea $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{f(x)}=-\infty}$ .

Ahora observe que es

la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo como resultado que

tiende a valores cercanos a cero.
Así $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=0}$ , o sea, $f(x)\rightarrow 0$ cuando $x\rightarrow +\infty$ .

En forma similar a la tabla anterior se tiene que $f(x)\rightarrow 0$ cuando $x\rightarrow -\infty$ es decir, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{f(x)}=0}$
Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función

en la forma siguiente.

Consideramos ahora la función

definida por $f(x)=\displaystyle {\frac{-1}{x}}$ para $x\in I\!\!R-\{0\}$ , cuya representación gráfica es la siguiente:

Podemos decir que:

a.	$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{f(x)}=-\infty}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{-}}}{f(x)}=+\infty}$

b.	$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=0}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{f(x)}=0}$

Ejercicio
Determine: $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{+}}}{g(x)}}$ , $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{g(x)}}$ , $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{+}}}{g(x)}}$ , $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{-}}}{g(x)}}$ , $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{g(x)}}$ , $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{g(x)}}$ , utilizando para ello la función

Daremos ahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito.

	Definición
	Se dice que crece sin límite cuando tiende a , que se denota $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)}=+\infty}$ , si para todo número real , (sin importar su magnitud), existe $\delta >0$ tal que siempre que $0<\vert x-c\vert<\delta$ .

Gráficamente se tiene:

Esta definición nos dice que es posible hacer

tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier número positivo

), tomando

suficientemente cerca de

.
Ejemplo
Consideremos la representación gráfica de la función

definida por: $f(x)=\displaystyle {\frac{1}{x^{2}}\;\;\mbox{para}\;\;x\in I\!\!R-\{0\}}$

Demostremos ahora que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{1}{x^{2}}}=+\infty}$
Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un

existe $\delta >0$ tal que $\displaystyle {\frac{1}{x^{2}}>N\;\;\mbox{siempre que}\;\;0<\vert x-0\vert<\delta}$ .
Observe que: $\displaystyle {\frac{1}{x^{2}}>N \Leftrightarrow x^{2}<\frac{1}{N}\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}}<\sqrt{\frac{1}{N}}\Leftrightarrow \vert x\vert<\frac{1}{\sqrt{N}}}$ .
Luego, dado

, escogemos $\delta =\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{N}}}$ de tal forma que se satisfaga que $\displaystyle {\frac{1}{x^{2}}>N \;\;\mbox{cuando}\;\; 0<\vert x\vert<\delta}$ . Si tomamos, por ejemplo, $N=100\;\;\mbox{entonces}\;\;\displaystyle {\frac{1}{x^{2}}>100}$ cuando $0<\vert x\vert<\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{100}}}$ , es decir, cuando $0<\vert x\vert<\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$