Diego Eduardo Padilla Reynoso: Unidad III. Derivada de una función.

3.1 Definición de la derivada.

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

1. Hallar la derivada de la función f(x) = 3x² en el punto x = 2.

2. Calcular la derivada de la función f(x) = x² + 4x − 5 en x = 1.

http://www.vitutor.com/fun/4/a_2.html

3.2 Diferenciación de funciones por incrementos.

Este tipo de derivadas no cuenta con una formula especifica. Las reglas que se tienen que seguir para poder solucionar las derivadas por incremento es de la siguiente manera. De la formula inicial se le agrega en el conjunto que tiene la variable,Delta "x" o Incremento simbolizado de la siguiente manera

. Despues de la formula que tiene

se le resta la formula original. posteriormente se soluciona como un limite dividiendo el resultado entre

y de esta manera se soluciona una derivada por incremento.

http://www.angelfire.com/planet/reivaj7890/derivadas_por_incremento.htm

3.3 La derivada como razón de cambio.

Los fenomenos que ocurren en la naturaleza estan relacionados entre si; por ejemplo la aceleracion con que se desplaza un movil depende de la magnitud de la fuerza que se le aplica; la distancia que recorre dicho movil depende del tiempo.
Lo que generalmente interesa es la rapidez con que cambia el valor de la variable dependiente de una funcion cuando el valor de la variable independientemente cambia. En concreto lo que nos interesa es el cambio instantaneo.
La variable de una razon es presisamente la razon de cambio instantanea de una funcion o simplemente su razon de cambio.

ejemplo:
La poblacion de cierta ciudad, en miles de habitantes dentro de t años, se calcula por la expresion:
8
P (t)= 40- ------
t+2
calcula la rapidez con la que estara creciendo la poblacion durante 2 años

SOLUCION:
La rapidez con la que crece la poblacion en t años es la razon de cambio instantaneo de P(t) con respecto a t; por consiguiente, debemos calcular primero P´(t) y luego debemos evaluarla t=2
8
P(t)=40- ----- miles
t+2

rescribamos la funcion anterior de manera que P(t) se pueda derivar mediante la regla de la cadena
-1
P´(t)=40-8(t+2)
-2
P´(t)= 8 (t+2)

8
P´(t)=----------
2
(t+2)
Por lo tanto la rapidez con que crece la poblacion dentro de 2 años es P´(2)
8
P´(2)= -----
2
(2+2)

8
P´(2)=-----= .5 miles por año
16

Dentro de 2 años. la poblacion de esta ciudad crecera a razon de 500 habitantes por año.

http://elmaravillosomundodelcalculo.blogspot.mx/2009/06/la-derivada-como-razon-de-cambio.html

3.4 Diferenciabilidad y continuidad.

Así como existen límites unilaterales también podemos hablar de derivadas unilaterales. A continuación se dan las definiciones de derivadas por la derecha y por la izquierda de una función en un punto determinado.

Arriba

v La continuidad de una función en un número no implica que la función sea derivable en dicho número; por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en cero. Veamos:

http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/Diferenciabilidad_y_continuidad.htm

3.5 Reglas básicas de derivación:

Una función de grado n, donde n es un exponente real, se representa por

f(x)=x^{n}

y su derivada es

f'(x)=nx^{n-1}

Algunos tipos de este tipo de funciones son: Función cuadrática, función cúbica, entre otras.

Por ejemplo la función:

f(x)=x^{3}

Lo primero es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:

f'(x)=3x^{3-1}

Quedando finalmente:

f'(x)=3x^{2}

Cuando una función esté representada por medio de

f(x)=cx^{n}

, su derivada equivale a

f'(x)=n(cx^{(n-1)})

de la siguiente manera:

Consideremos la siguiente función:

f(x)=8x^{4}

, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

f'(x)=4(8x^{4-1})

Para obtener

f'(x)=32x^{3}

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

f(x)=7x

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

f'(x)=7

Puesto que

x^{0}=1

Considérese la función

f(x)= x^{1/3}\,

Se tiene:

f\ '(x)= 1/3*x^{-2/3}

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.

Es decir,

(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)

\frac{d[f(x)+g(x)]}{dx}=\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}

Como ejemplo consideremos la función

f(x)=3x^{5}+x^{3}

, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función:

f '(x)=15x^{4}+3x^{2}

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:

"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar."

Y matemáticamente expresado por la relación

(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \,

. Consideremos la siguiente función como ejemplo:

h(x)=(4x+2)(3x^{7}+2)

Identificamos a

f(x)=(4x+2)

g(x)=(3x^{7}+2)

, utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

f'(x)=4

y que

g'(x)=21x^{6}

Por lo tanto

h'(x)= 4\cdot(3x^{7}+2)+(4x+2)\cdot(21x^{6})

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

h'(x)=84x^{7}+12x^{7}+42x^{6}+8

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

h'(x)=96x^{7}+42x^{6}+8

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir

(f\cdot g\cdot h)' = (f\cdot p)'

en donde

p = g\cdot h

(sin importar que dos funciones escogemos).

La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así:

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}

Es decir:

"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado".

Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:

h(x)=\frac{3x+1}{2x}

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es

g(x)=2x

y se multiplique por la derivada del numerador que seria

f'(x)=3

; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador (

f(x)

) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de

g(x)=2x

, que seria

g'(x)=2

, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así:

h'(x)=\frac{(3)(2x)-(3x+1)(2)}{(2x)^{2}}

Ahora todo es cuestión de simplificar:

h'(x)=\frac{6x-6x-2}{4x^{2}}=-\frac{1}{2x^{2}}

http://es.wikipedia.org/wiki/Reglas_de_derivaci%C3%B3n

3.6 La regla de la cadena y de la potencia.

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto ax puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.