Unidad IV. Tópicos complementarios de diferenciación.

4.1 Derivadas de funciones logarítmicas.

La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Como , también se puede expresar así:

Derivada de un logaritmo neperiano

La derivada del logaritmo neperiano es igual a la derivada de la función dividida por la función.

Ejemplos

http://www.ditutor.com/derivadas/derivada_logaritmica.html

4.2 Derivadas de funciones exponenciales.

La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.

Ejemplos

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_exponencial.html

4.3 Diferenciación implícita.

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de  entre las variables x e y:

Dada una función , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: .

Si consideramos  es una función en términos de la variable independiente x y  es una función en términos de la variable dependiente y, dado que , entonces para obtener la derivada:

Obtener la derivada de:

El término  se puede considerar que son dos funciones,  y  por lo que se derivará como un producto:

El término  se deriva como:

El término  se deriva de forma normal como:

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

El término  se puede considerar como un producto y se deriva como:

Al unir todos los términos se obtiene:

Ordenando:

Factorizando respecto a (  ) los valores son:

Finalmente despejando  se obtiene la derivada de la función implícita:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impl%C3%ADcita

4.4 Diferenciación logarítmica.

Con determinadas funciones, especialmente para la función potencial-exponencial, es aconsejable el empleo de la derivación logarítmica, ya que facilitan bastante el cálculo.

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Ejemplos

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http://www.dervor.com/derivadas/derivacion_logaritmica.html

4.5 Derivadas de orden superior.

La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas.

Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son:

para derivadas de orden superior es de forma similar, así por ejemplo tendríamos las siguientes derivadas:

derivando

   

para la primera derivada obtenemos

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/derivadas_de_orden_superior.htm

4.6 Diferenciales.

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.

La diferencial de una función se representa por dy.

Interpretación geométrica

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

Ejemplos

http://www.dervor.com/derivadas/diferencial.html